Teoremas de reordenamiento de series

Résumé

La suma de una cantidad infinita de números reales puede depender del orden en el que se sumen los números. En este trabajo hacemos un recorrido por varios resultados que involucran reordenamiento de los términos de una serie, desde series en R hasta en espacios de Banach pasando por los euclidianos (Rn). No incluimos demostraciones de los teoremas, solo las ideas básicas de éstas. Primero vemos el caso de las series de números reales, donde presentamos el teorema de reordenamiento de Riemann junto con otros resultados. Continuaremos con el teorema de Lévy-Steinitz, un resultado análogo al de Riemann para series de vectores en Rn. En particular, consideraremos la serie de Eisenstein, definida en los complejos, que tiene la propiedad de que al reordenar sus términos obtenemos un cambio en el valor de su suma; esta serie es útil al estudiar formas modulares. Por último, presentamos el teorema de Pechersky sobre reordenamiento de series en espacios de Hilbert, un resultado útil para probar la universalidad de la función ζ de Riemann.