Un ejemplo de teoría de homotopia en los grupos abelianos

Résumé

Para un anillo conmutativo con unidad R, en la categoría de los grupos abelianos hemos desarrollado una nueva teoría de homotopía. La categoría de homotopía de esta teoría tiene la siguiente propiedad: Si un grupo abeliano A admite la estructura de R-módulo, entonces A tiene el tipo de homotopía del grupo abeliano nulo. Como consequencia de este hecho, esta teoría aporta una nueva técnica para analizar la obstrucción que un grupo abeliano presenta a admitir una estructura de R-módulo. Esta memoría contiene un detallado estudio de los análogos de los grupos de homotopía para este contexto y la construcción de sucesiones homotópicas asociadas a un homomorfismo de grupos abelianos. También se han analizado las teorías asociadas a algunos anillos, por ejemplo, para el anillo de los racionales, Q, se tiene la siguiente versión del teorema de Whitehead: Un grupo abeliano A tiene la estructura de Q-módulo (A es contractible) si y sólo si A tiene sus grupos de homotopía triviales.