Aplicaciones de la cohomología de Alexander-Spanier en dinámica discreta

Zusammenfassung

En esta tesis relacionamos propiedades dinámicas de un sistema dinámico (X,f) con los autovalores y autovectores de la aplicación inducida de f en homología o cohomología. Las teorías que mejor se adaptan a este problema son las de Cech ya que son las más adecuadas para describir espacios con malas propiedades locales que son situaciones comunes en dinámica, por ejemplo, los atractores extraños. Para abordar el problema anterior, utilizamos aproximaciones intrínsecas de la homología y cohomología de Cech que desarrollaremos en el primer capítulo. También describimos en detalle los 0 y 1-ésimos grupos de homología, y el 0-ésimo grupo de cohomología de Cech. En el segundo capítulo definimos una aplicación bilineal, integral, de las clases de cohomología sobre las clases de homología de Cech. En general, la cohomología de Cech no es el dual de la homología de Cech, por lo que no nos basta con evaluar las clases de cohomología sobre las clases de homología para definir dicha integral. Para definir la integral hacemos uso de las aproximaciones intrínsecas de la homología y cohomología de Cech dadas en el primer capítulo. Vemos que la integral es una aplicación bilineal que es no degenerada en ambas de sus entradas, cumple el Teorema de Stokes y también conmuta con los homomorfismos conectantes de las sucesiones de Mayer-Vietoris en homología y cohomología de Cech. En el tercer capítulo introducimos las series en homología en el mismo marco teórico que las series en cohomología introducidas anteriormente por los directores de esta tesis. También probamos la utilidad de la integral para abordar problemas de índice de Conley discreto para conjuntos invariantes aislados. Sabemos por Robbin y Salamon que el índice de Conley homológico o cohomológico de un conjunto invariante aislado K se puede calcular a partir de la compactificación W del conjunto inestable de K. Presentamos una demostración alternativa de un resultado probado por los directores de esta tesis: el número de las cuasi-componentes esenciales de W menos K (aquellas cuasi-componentes que son adherentes al conjunto invariante aislado K y al infinito) está acotado superiormente por la dimensión de 1-ésimo grupo de homología de W. En el cuarto capítulo relacionamos los autovalores y autovectores de la aplicación inducida de f en homología o cohomología de Cech en dimensión cero con propiedades dinámicas del sistema dinámico (X,f). Para la cohomología obtenemos que los autovalores no nulos son raíces de la unidad mientras que para la homología existe una dicotomía: o bien existe una inmensa cantidad de autovalores o bien los autovalores no nulos son raíces de la unidad, y es en este último caso cuando obtenemos una descripción detalla del comportamiento dinámico de f. En el quinto capítulo damos una generalización del Teorema de Manning a espacio compactos arbitrarios, posiblemente con malas propiedades locales. La motivación para establecer dicho teorema es la siguiente. La entropía topológica de un sistema dinámico es una medida de complejidad de dicho sistema. Que un sistema dinámico posea entropía topológica positiva implica la presencia de caos en el sistema. Sin embargo, el cálculo de la entropía topológica no es una tarea sencilla, por los que nos solemos conformar con encontrar una cota inferior que nos garantice que la entropía topológica es positiva. Siguiendo este principio, el Teorema de Manning establece que la entropía topológica de una aplicación continua f en una variedad compacta X está acotada inferiormente por el logaritmo del valor absoluto del radio espectral de la aplicación inducida de f en la homología singular en dimensión 1. La generalización del Teorema de Manning dada en el quinto capítulo sirve para espacios compactos arbitrarios y está escrita en términos de la cohomología de Cech en dimensión 1 en lugar de la homología singular.