Funciones zeta de sucesiones de recurrencia lineal asociadas a irracionales algebraicos

Résumé

En esta tesis se definen y estudian las funciones zeta asociadas a una sucesión de recurrencia lineal de números enteros. Esta definición se hace a través de una serie de Dirichlet. Las series de Dirichlet y las funciones zeta, cuyo ejemplo más conocido y estudiado es la función zeta de Riemann, son una herramienta fundamental en la Teoría Analítica de Números porque permiten utilizar el Análisis Matemático (por lo general, el Análisis Complejo) para estudiar problemas de Teoría de Números. El objetivo del trabajo es relacionar las propiedades aritméticas o algebraicas de los irracionales algebraicos que son las raíces de la sucesión de recurrencia considerada, y las propiedades analíticas de la función zeta que define dicha sucesión. Con este fin, se estudian en profundidad las propiedades analíticas de estas funciones zeta, estableciendo la existencia de su prolongación analítica a una función meromorfa en todo el plano, calculando sus polos y residuos. También se estudian variaciones de estas funciones: concretamente, las funciones zeta de tipo Hurwitz y de tipo Lerch. En cuanto a la conexión entre propiedades aritméticas y analíticas, se establece la relación entre la distribución de los polos de las funciones zeta y el denominado "módulo de relaciones" de las raíces de la sucesión, que es un objeto algebraico que aparece al estudiar problemas de independencia multiplicativa y aproximación diofántica.