Polinomios de Appell y funciones especiales en la teoría de Dunkl

La tesis está dedicada a profundizar en el conocimiento de las sucesiones de Appell-Dunkl como extensión al contexto de Dunkl de lo que ocurre en el caso clásico (polinomios de Appell). Nuestro grupo de investigación es pionero en el estudio de los operadores de Dunkl en la recta real, y en su relación con los polinomios de Appell-Dunkl, y lo que ahora presentamos supone algunos pasos más en este camino. Si tenemos una familia de polinomios de Appell, es un tema clásico encontrar una función especial de variable compleja que interpole los polinomios de Appell. El caso más conocido es el de los polinomios de Bernoulli y la función zeta de Hurwitz. En la literatura existen diferentes métodos y estrategias para conseguir este tipo de funciones especiales; entre ellos, hay uno donde se aplica una ligera variación de la transformada de Mellin a la función generatriz de los polinomios de Appell. En la tesis, nuestro trabajo se enmarca dentro de la teoría de Dunkl en la recta real. En la teoría de Dunkl la derivada clásica es reemplazada por la derivada de Dunkl y la función exponencial por la exponencial de Dunkl, por citar un par de diferencias. Más en concreto, y de manera muy resumida, la tesis se dedica al estudio de los polinomios de Appell-Dunkl y a su relación con las funciones especiales que aparecen en ese contexto. En este campo hemos conseguido diversos avances. En primer lugar, hemos extendido el método para encontrar funciones especiales que interpolen polinomios de Appell antes citado a nuestro contexto de Dunkl, lo cual presenta considerables dificultades: no sólo el operador de Dunkl es más complicado que la derivada ordinaria, sino que la exponencial de Dunkl tiene un comportamiento asintótico mucho peor que la exponencial ordinaria. En nuestro primer artículo, el objetivo era obtener generalizaciones, en un sentido de Dunkl, de algunas de las funciones especiales más importantes, como son las función zeta de Riemann y las funciones de Hurwitz, y pensamos que lo hemos conseguido de manera bastante satisfactoria. En particular, hemos podido aplicar estas técnicas a los polinomios de Bernoulli-Dunkl y a los de Euler-Dunkl, para encontrar las orrespondientes funciones zeta-Dunkl y demostrar muchas de sus propiedades. Continuando con este camino, buscábamos conseguir resultados de ese tipo para algunas familias de polinomios de Appell-Dunkl adicionales en las que no sólo no se podía aplicar lo desarrollado en trabajos anteriores, sino que tampoco podíamos aplicarlo en algunos casos clásicos. Por supuesto, esto era así porque había dificultades añadidas aún no solventadas. Como resultado parcial en esta dirección, en nuestro segundo artículo demostramos un teorema más general en el que permitimos, por ejemplo, que aparezcan singularidades en la recta real (hecho antes no era contemplado), y mostramos cómo se aplica a diversos ejemplos. De momento, no hemos conseguido encontrar cómo extender ese resultado a las correspondientes familias de polinomios de Appell-Dunkl, y finalmente propusimos como problema abierto, explicando dónde están las dificultades técnicas para lograrlo; esperamos poder continuar trabajando en ello en el futuro. También hemos estudiado propiedades de algunos polinomios de Appell-Dunkl concretos (ya no en relación con las funciones especiales que los interpolan). Así, en nuestro tercer artículo hemos definido y estudiado una nueva familia de polinomios Appell-Dunkl: los polinomios de Boole-Dunkl. En concreto, son una familia de polinomios de Appell-Dunkl discretos que generalizan los polinomios de Boole clásicos. Las dificultades de esto son, de nuevo, numerosas, esta vez basadas, sobre todo, en que la traslación de Dunkl es un operador mucho más sofisticado que la traslación clásica,y eso hace que las familias de Appell-Dunkl discretas tengan una definición que no es sencilla porque involucra las traslaciones de Dunkl.