Effective computation of invariants of finite topological spaces

Resumen

En este trabajo hemos presentado algoritmos efectivos para el cálculo de invariantes de espacios topológicos finitos. Estos algoritmos han sido desarrollados por medio de la combinación de técnicas combinatorias sobre posets, las cuales han sido establecidas en los trabajos que fundamentan la teoría de los espacios finitos, y de trabajos recientes en esta línea de trabajo, tales como métodos para mantener tipos de homotopía débil o tipos de homotopía simple y la aplicación de la Teoría de Morse Discreta. La memoria ha sido organizada en cinco capítulos. El Capítulo 1 contiene algunas notaciones, definiciones y resultados concernientes a la Topología Algebraica de espacios topológicos finitos, sus conecciones con complejos simpliciales y algunas perspectivas de la Teoría de Morse Discreta, las cuales serán útiles a lo largo de este trabajo. También se ha incluído una presentación del programa Kenzo como una herramienta poderosa para el desarrollo de nuestras implementaciones algorítmicas en capítulos posteriores. Hasta el momento, los métodos conocidos para el cálculo de invariantes de espacios topológicos finitos eran aplicables solamente en los posets de caras de complejos simpliciales o de CW-complejos regulares. En el Capítulo 2, hemos desarrollado versiones constructivas de algunos resultados teóricos de diferentes autores acerca de espacios topológicos finitos, produciendo en particular nuevos algoritmos para el cálculo explícito de algunos complejos de cadenas asociados a espacios finitos h-regulares (que resultan más pequeños que el complejo de cadenas del complejo simplicial asociado al espacio finito) y sus correspondientes generadores. Hemos implementado los algoritmos mencionados en el sistema de álgebra computacional Kenzo. Hasta donde sabemos, nuestro programa es el único software capaz de calcular grupos de homología de espacios topológicos finitos trabajando directamente sobre los posets sin tener que acudir, necesariamente, al mundo simplicial. Más aún, hemos mejorado nuestros algoritmos sobre espacios finitos h-regulares mediante el uso de campos de vectores discretos. En este caso, hemos producido un nuevo algoritmo para construir un campo de vectores discreto definido directamente sobre el poset, el cual puede ser aplicado a espacios finitos h-regulares en general; como hemos dicho antes, hasta donde sabemos no existe otro software que produzca esta clase de construcción sobre espacios topológicos finitos en general. Los algoritmos ya mencionados para calcular homología son aplicables a espacios finitos h-regulares. En la literatura hay pocos ejemplos de espacios finitos h-regulares diferentes a los posets de caras de complejos simpliciales. El proceso de h-regularización que hemos desarrollado en el Capítulo 3, produce una amplia variedad de espacios finitos de este tipo. De hecho, cualquier espacio finito de altura menor o igual a dos puede ser h-regularizado, permitiendo considerar nuevos ejemplos de esta clase de espacios. En el Capítulo 4, hemos presentado una interfaz entre los sistemas de álgebra computacional SageMath y Kenzo. Nuestro trabajo ha hecho posible trabajar con Kenzo de una forma más amigable y ha permitido que ambos sistemas colaboren mutuamente en algunos cálculos que no pueden ser hechos de manera independiente por dichos programas. Más aún, hemos creado un módulo en SageMath implentando espacios topológicos finitos y algunos conceptos relacionados mediante el uso de los algoritmos en Kenzo previamente mencionados. Finalmente, en el Capítulo 5, hemos considerado algunas estrategias para estudiar diferentes alternativas para calcular campos de vectores discretos de mayor longitud sobre espacios finitos. Además, hemos usado algunas técnicas de aprendizaje automático (machine learning) tales como aprendizaje por refuerzo y árboles de búsqueda Monte-Carlo para obtener campos de vectores discretos de la mayor longitud posible.