La conjetura de Erdős–Straus

Resumen

A finales de la década de 1940, Paul Erdös y Ernst G. Straus establecieron la siguiente conjetura (CES): Dado un número natural n mayor o igual que 2, siempre es posible escribir la fracción 4/n como suma de tres fracciones racionales positivas con numerador (egipcias o unitarias). Esta conjetura hoy día sigue estando abierta. En este artículo presentamos un algoritmo sencillo que en caso de parada descompone la fracción 4/n como suma de tres fracciones racionales egipcias, llegamos a formular varias conjeturas que ofrecen condiciones suficientes para la validez de la CES y demostramos, por ejemplo, que CES se cumple en particular para todos los valores n que están en la imagen de un polinomio p(a,b,c) de tres variables, lineal en cada variable. Según comprobaciones asistidas por ordenador (nosotros lo hemos hecho para n menor o igual que mil doscientos billones), dichos valores n podrían incluir todos los números primos congruentes con 1 módulo 4. Y aunque, por un lado, probamos que los cuadrados no están en el conjunto imagen de enteros no negativos por la función polinómica p(a,b,c), por otro lado, y con ayudad de esa función, hemos podido dar una demostración constructiva de que hay un conjunto tan grande como se quiera de números consecutivos para los que CES es cierta.