Series and integral representations of one-parameter operator families

Resumen

El problema abstracto de Cauchy de primer orden en un espacio de Banach tienen solución si el operador asociado (A,D(A)) genera un C_0-semigrupo de operadores. El problema abstracto de Cauchy de primer orden en la recta real es a menudo estudiado paralelamente. En este caso la solución es un C_0-grupo de operadores acotados en X. Similarmente, las soluciones del problema abstracto de Cauchy de segundo orden son las funciones seno y coseno. Estas familias de operadores han sido estudiadas extensamente debido a su importancia en el cálculo y análisis de soluciones de ecuaciones en derivadas parciales en espacios de funciones. En el estudio de la teoríaa de C_0-semigrupos, las aproximaciones a las soluciones de ecuaciones en derivadas parciales son uno de los aspectos importantes que se consideran. En la prueba usual del Teorema de Hille-Yosida ya aparecen aproximaciones de C_0-semigrupos y de sus generadores. Otro resultado muy conocido de aproximación de C_0-semigrupos es el Teorema de Trotter-Kato . Por otro lado, en Análisis Matemático, son naturales las aproximaciones en serie de polinomios ortogonales, ya sean de Jacobi, Hermite o Laguerre, según el contexto en el que se está trabajando. Los teoremas sobre desarrollos en serie que aparecen en el libro de Lebedev y están citados en esta nos permiten aproximar las soluciones de los problemas de Cauchy de primer y segundo orden escalares en función de polinomios de Hermite y Laguerre El primer objetivo de esta memoria es obtener una versión vectorial de las fórmulas anteriores, es decir, obtener aproximaciones vectoriales de C_0-semigrupos, C_0-grupos, y funciones coseno y seno. En el primer capítulo se estudian estas aproximaciones y el orden de convergencia de las sumas parciales a las propias familias de operadores, y además se ilustran los resultados obtenidos con varios ejemplos concretos. Se han obtenido mejores aproximaciones para familias de operadores con propiedades notorias, como los semigrupos holomorfos. Se ha completado el estudio de estas aproximaciones con el cálculo de normas en espacios de Lebesgue de ciertas funciones de Jacobi, Hermite y Laguerre, cuyas estimaciones juegan papel en la convergencia de los desarrollos en series de polinomios ortogonales. Una forma diferente de enfocar ciertos problemas de evolución abstractos es el estudio de ecuaciones integrales de tipo Volterra. En el libro de J. Prüss se hace un estudio detallado y unificado desde el punto de vista de la teoría de operadores de la ecuación clásica de Volterra. En los últimos años, se han considerado generalizaciones de este problema, la llamada ecuación generalizada de Volterra, en la cual intervienen dos núcleos (a,k). Bajo ciertas condiciones de los núcleos a y k, la existencia de solución en sentido fuerte está caracterizada por la existencia de una familia de operadores acotados, a la cual llamamos familia (a,k)-resolvente regularizada. A parte de los C_0-semigrupos y las funciones coseno, hay otras familias de operadores conocidas que están incluidas en la definición anterior. Por ejemplo los semigrupos integrados, las funciones coseno integradas, y las familias resolventes asociadas a problemas fraccionarios. No siempre la ecuación generalizada de Volterra está bien planteada globalmente en tiempo, es decir, existen parejas a y k para las que la existencia de la familia resolvente regularizada es local en ciertos espacios de Banach. Es bien conocido que tanto las soluciones del problema abstracto de Cauchy de primer y segundo orden son soluciones globales, es decir, de existir en un periodo finito de tiempo entonces se puede asegurar que existen siempre. Este hecho radica principalmente en la estructura algebraica de la ecuación funcional que caracteriza a estas familias de operadores. Esto no ocurre con todas las parejas (a,k) para las que, en muchos casos, las soluciones locales se pueden extender pero obteniendo familias regularizadas (integradas) de las anteriores. En el segundo capítulo de esta monografía se estudian relaciones algebraicas que caracterizan a las familias resolventes regularizadas. El objetivo es, haciendo uso de tales relaciones algebraicas, extender en tiempo las familias resolventes regularizadas locales, principalmente las asociadas a ecuaciones diferenciales fraccionarias. Además se establece una metodología de trabajo que nos permite asegurar qué familias son siempre globales. En el caso global, son muy conocidos los resultados de subordinaciónn para este tipo de familias cuando los núcleos a y k son del tipo polinomial. En la parte final del segundo capítulo, se unifican estos resultados obteniendo una fórmula general para la subordinación de estas familias, que incluye los casos particulares conocidos y otros nuevos que no se habían considerado anteriormente. Además, permite establecer relaciones entre las soluciones de distintos problemas abstractos de tipo Cauchy. Los homomorfismos entre álgebras de Banach de tipo L^1 y el álgebra de operadores lineales y acotados en un espacio de Banach X están directamente ligados a los problemas de Cauchy de primer y segundo orden, o equivalentemente a los C_0-semigrupos y funciones coseno. De hecho los caracterizan. Los semigrupos y cosenos integrados tambiénn inducen homomorfismos como los C_0-semigrupos y las funciones coseno, pero es necesario introducir álgebras de Sobolev fraccionarias, donde los homomorfismos inducidos por tales familias de operadores permiten estudiar con profundidad la naturaleza y estructura de los propios semigrupos y cosenos integrados (o generalizaciones suyas como los semigrupos y cosenos convoluidos). Similarmente, dado un operador acotado en un espacio de Banach X, tal que sus potencias están uniformemente acotadas, define un cálculo funcional entre el álgebra de sucesiones sumables y el álgebra de operadores lineales y acotados en X. De hecho, los operadores de potencias uniformemente acotadas están caracterizados por la existencia de tales homomorfismos. Por otro lado, las potencias de otros operadores no tienen este crecimiento. En este sentido se han introducido varios conceptos, entre los que destacamos el de Cesàro acotado de orden positivo. De hecho la acotación uniforme de potencias implica la acotación Cesàro, sin embargo la implicación inversa no se cumple como muestra el ejemplo de Assani. El tercer y último capítulo se encuadra en este contexto. Se consideran operadores tales que su suma de Cesàro está acotada en norma por una clase de pesos, que a su vez nos permiten definir álgebras (de convolución) fraccionarias de sucesiones. Los homomorfismos entre estas álgrebras y el álgebra de operadores lineales y acotados en un espacio de Banach X caracteriza a los operadores Cesàro acotados. A continuación se dan ejemplos concretos donde aplicar nuestros resultados. Este tipo de construcciones y resultados son los adecuados para atacar teoremas de tipo Katznelson-Tzafriri para el caso particular de operadores Cesàro acotados. Conseguimos extender el teorema clásico de Katznelson-Tzafriri para medias de Cesàro. El trabajo recogido en esta monografíaa aparece en una serie de artículos del autor citados en la Bibliografía.