Generadores de primos, identidades aproximadas y funciones multifractales

Resumen

Esta memoria está compuesta por tres problemas diferentes cuyo nexo de unión es la teoría de números. Mientras que uno de ellos es de naturaleza combinatoria, el carácter de los otros dos es marcadamente analítico. De hecho, ambos comparten ciertas similaridades al hundir sus raíces conjuntamente en la teoría de formas automorfas. La exposición está dividida en tres capítulos, cada uno de ellos correspondiente a uno de los citados problemas. Así mismo, existe un capítulo introductorio previo en el que se exponen brevemente las ideas que se desarrollarán con profunidad más adelante. Hemos preferido que en dicha introducción primen las ideas y los conceptos sobre el rigor matemático, esbozando las definiciones y resultados que luego aparecerán detallados en profunidad. Dada la disparidad de los problemas tratados, no se incluyen capítulos o apéndices exteriores con conceptos previos, conteniendo cada capítulo sus propios preliminares. El primer capítulo trata acerca de una sucesión recurrente con una sorprendente propiedad; como reza el título, esta sucesión genera números primos. De hecho, una infinidad de ellos, arbitrariamente grandes. Una de sus peculiaridades es la sencilla expresión que la define. No en vano, las fórmulas para generar primos han estado en el imaginario matemático durante siglos, si bien la mayoría de las que se conocen son auténticas piezas de ingeniería compuestas por fórmulas o recurrencias muy elaboradas y que han sido expresamente diseñadas con el propósito de fabricar primos. La sucesión que vamos a ver, en cambio, los genera de forma natural. Los otros dos capítulos tratan sobre formas automorfas. Éstas han causado una revolución en la teoría de números moderna y cosechado importantes resultados; entre ellos cabe destacar la famosa prueba del último teorema de Fermat, hace dos décadas. En el segundo capítulo se considerarán las formas no holomorfas, es decir, distintas de las clásicas. Introducidas por Hans Maass y desarrolladas por el medalla Fields noruego Atle Selberg han dado lugar a una teoría espectral de formas automorfas que estrecha los lazos entre el análisis armónico en superficies de Riemann y la aritmética. Emplearemos esta relación para demostrar que algunas series que involucran el número de representaciones como suma de dos cuadrados aproximan constantes conocidas. En el tercer capítulo, empleamos propiedades de las formas modulares para construir funciones multifractales. Este tipo de funciones fueron introducidas por primera vez en el contexto de la mecánica de fluidos. Su particularidad es que clasifican los puntos de un intervalo en una colección no discreta de conjuntos, cada uno de ellos conteniendo un fractal de diferentes dimensiones. Para lograr funciones de este tipo a partir de formas modulares, utilizaremos aproximación diofántica, siendo clave el hecho de que los números irracionales pueden aproximarse por racionales con diferentes órdenes de precisión, tal y como expresa el Teorema de Jarník-Besicovitch.