Estudio de la dinámica del método de Newton amortiguado

Resumen

La Tesis Doctoral defendida se sitúa en la frontera de dos líneas de investigación de gran relevancia matemática, como son los sistemas dinámicos y la resolución numérica de ecuaciones no lineales mediante procesos iterativos. En concreto, hemos realizado un estudio del conocido como método de Newton amortiguado, que es una modificación del método de Newton clásico. Dicho método consiste en la generación de una sucesión dependiente de un parámetro amortiguador que, en condiciones adecuadas, converge a la solución buscada. La tesis pone en evidencia la importancia del parámetro amortiguador, no solo en la convergencia del método sino también en sus propiedades dinámicas. La tesis presenta tres enfoques diferenciados. El primero de ellos tiene como objetivo profundizar en el análisis de la dinámica real del método, utilizando entre otras técnicas diagramas de Feigenbaum o exponentes de Lyapunov, que nos permiten encontrar comportamientos extraños (convergencia hacia ciclos, comportamiento caótico, etc.) para diferentes valores reales del parámetro amortiguador. En el segundo enfoque, dedicado a la dinámica compleja del método, se enfatiza en el conocimiento de las cuencas de atracción de las soluciones, en muchos casos, con una intrincada estructura fractal. Nos apoyaremos para ello en el carácter de los puntos fijos, la aparición de ciclos atractores y en los planos de parámetros asociados a los puntos críticos libres. Finalmente, se hace un estudio del método para operadores definidos entre espacios de Banach, obteniendo resultados sobre convergencia local y semilocal. Esta generalización permite abordar problemas tales como sistemas de ecuaciones no lineales, ecuaciones diferenciales o integrales, problemas de optimización, etc.