Estudio de un tipo de extrapolación no lineal y sus aplicaciones

Resumen

Es conocido que una de las estrategias más utilizadas para aumentar el orden de un método numérico es la extrapolación, la más conocida es la de Richardson (lineal). Por sus buenas propiedades de estabilidad revisamos un tipo de extrapolación no lineal, extrapolación polinómica recíproca. Analizamos su comportamiento para la ecuación escalar rígida y tras ello, diseñamos una nueva implementación basada en una traslación específica de los datos en la que aseguramos al menos el mismo comportamiento que la extrapolación de Richardson, cuando ésta funciona bien. Realizamos un estudio comparativo de esta nueva implementación frente a la extrapolación de Richardson en diversas aplicaciones: sistemas de ecuaciones diferenciales, nuevas fórmulas de cuadratura, diferenciación numérica y problemas de valores frontera singulares; tanto para discretizaciones uniformes como no uniformes. Finalmente, presentamos una primera generalización de la extrapolación polinómica recíproca y analizamos su comportamiento para dos métodos modificados de Euler, uno explícito y otro implícito. En definitiva, hemos obtenido una nueva técnica de extrapolación en la que aseguramos la misma precisión que Richardson cuando ésta aproxima bien pero mejoramos su robustez, pues obtenemos mejoras en el comportamiento en problemas en los que la discretización no es lo suficientemente fina.