Problemas de valor inicial en la construcción de sucesiones mayorizantes para el método de Newton en espacios de Banach

Résumé

Es bien conocido que la resolución de ecuaciones no lineales de la forma F(x) = 0, donde F es un operador no lineal definido entre espacios de Banach, es un problema habitual en las ciencias e ingenierías. Habitualmente se buscan aproximaciones numéricas de las raíces de la ecuación anterior, puesto que encontrar raíces exactas suele ser difícil. Para aproximar una raíz de la ecuación anterior se utilizan habitualmente métodos iterativos, de entre los que destaca el método de Newton por su sencillez, fácil aplicación y eficiencia. El primer resultado de convergencia semilocal para el método de Newton en espacios de Banach fue dado por Kantorovich. En esta memoria se analiza la convergencia semilocal del método de Newton en espacios de Banach y cuyo principal objetivo es darle una mayor generalidad al problema de aproximar las raíces de una ecuación no lineal mediante el método de Newton, de manera que se pueda extender la aplicabilidad de este método a situaciones en las que la teoría clásica de Kantorovich no la puede garantizar. Para ello, se utiliza el conocido principio de la mayorante, que se basa en la construcción de sucesiones reales mayorizantes, y que, bajo nuevas condiciones de convergencia semilocal de tipo Kantorovich, permite generalizar las condiciones clásicas de Kantorovich. Aquí juega un papel importante la construcción ad hoc de sucesiones mayorizantes a partir de la resolución de problemas de valor inicial. Se ilustra todo lo anterior con diferentes tipos de ecuaciones no lineales, destacando las ecuaciones integrales de tipo Hammerstein mixto y la ecuación de Bratu, que tienen su origen en diversos problemas del mundo real, tal y como se pone de manifiesto a largo de la Memoria.