Métodos iterativos eficientes para la resolución de sistemas no lineales

Resumen

El problema de la resoluciÓn de ecuaciones y sistemas de ecuaciones no lineales figura entre los más importantes en la teoría y la práctica, no sólo de las matemáticas aplicadas, sino también de muchas ramas de las ciencias, la ingeniería, la física, la informática, la astronomía, las finanzas, . . . . El gran número de científicos que han trabajado recientemente en este tema muestran un alto nivel de interés contemporáneo. Aunque el rápido desarrollo de las computadoras digitales llevó a la aplicación efectiva de muchos métodos numéricos, en la realización práctica, es necesario resolver varios problemas tales como la eficiencia computacional basado en el tiempo usado por el procesador, el dise~no de métodos iterativos que posean una rápida convergencia a la solución deseada, el control de errores de redondeo, la información sobre los límites de error de la solución aproximada obtenida, indicando las condiciones iniciales de cómputo verificables que garantizan una convergencia segura, etc. Dichos problemas constituyen el punto de partida de esta memoria. El objetivo general de esta memoria radica en la búsqueda de nuevos y eficientes métodos iterativos para ecuaciones y sistemas de ecuaciones no lineales. El origen es el trabajo realizado por Weerakoon y Fernando en el que desarrollan en dimensión uno la variante del método de Newton que utiliza la fórmula de cuadratura trapezoidal, consiguiendo orden de convergencia tres. Özban amplió esta idea, y obtuvo algunos métodos nuevos con convergencia de tercer orden. Por otra parte, dichos métodos son casos particulares de la familia de variantes del método de Newton de orden tres definida por M. Frontini y E. Sormani, utilizando una fórmula de cuadratura interpolatoria genérica de nodos equiespaciados. Así, en primer lugar, basándonos en la idea de M. Frontini y E. Sormani, utilizamos la fórmula de cuadratura gaussiana genérica y desarrollamos en el Capítulo 3 un conjunto de familias de métodos iterativos para ecuaciones. Todos los métodos del conjunto son de tipo predictor-corrector donde la predicción se realiza inicialmente con el método de Newton. Demostramos que su orden de convergencia es tres bajo ciertas condiciones impuestas a los polinomios ortogonales que definen la famila de cuadratura gaussiana correspondiente y cinco dependiendo del comportamiento en la solución de la derivada segunda de la función que define la ecuación no lineal. Buscando mejorar el orden de convergencia del conjunto de métodos iterativos desarrollado, modificamos los algoritmos obtenidos utilizando otros métodos de predicción que superan el orden de convergencia dos del predictor Newton. Inicialmente usamos como predictor el método de Traub que tiene orden de convergencia tres, obteniendo un conjunto de familias de métodos iterativos de orden cinco (u once bajo ciertas condiciones impuestas a los polinomios ortogonales y la derivada segunda de la función que define la ecuación). Posteriormente, usamos como predictores los métodos iterativos de Ostrowski y de Kou cuyo orden de convergencia es cuatro, recibiendo el conjunto de familias de métodos iterativos de orden 6 y 11 bajo las mismas condiciones. Siguiendo la tendencia actual en el desarrollo de nuevos métodos iterativos en el Capítulo 4 se han desarrollado varios métodos de orden de convergencia alto e índice de eficiencia óptimos según la conjetura de Kung-Traub (esta conjetura, junto con otros conceptos básicos, aparecen desarrollados en el Capítulo 2). El Capítulo 5 esta dedicado a la búsqueda de nuevos métodos iterativos para sistemas de ecuaciones no lineales. Por lo general, para aumentar el orden de convergencia se necesitan nuevas evaluaciones de la matriz Jacobiana y de la función no lineal. En este sentido, usamos algunos de los métodos desarrollados para ecuaciones en el Capítulo 3 y los adaptamos para sistemas, mientras que otros son desarrollados especialmente para sistemas. El Capítulo 6 está dedicado a la relación entre los métodos iterativos de resolución de ecuaciones no lineales y problemas de valor inicial. Las fórmulas de cuadratura en general, y las de Gauss en particular, nos permiten determinar numéricamente las soluciones, tanto de ecuaciones o sistemas de ecuaciones no lineales (generando métodos iterativos como los descritos en la presente memoria), como de problemas de valor inicial, lineales o no. De este modo, las fórmulas de cuadratura constituyen el nexo de unión entre ambos problemas. Terminamos esta memoria con la presentación de las conclusiones más relevantes que se han obtenido y planteamos algunos problemas abiertos que van a constituir nuestras futuras líneas de investigación.