Teoría de representaciones, invariantes cohomológicos y tipos de homotopía propia

Resumen

En esta tesis se aborda el desarrollo del programa de Whitehead en teoría de homotopía propia. Concretamente la determinación de modelos algebraicos de tipos de homotopía propia estable de CW-complejos localmente compactos simplemente conexos de dimensión cuatro con a lo más tres finales. Los modelos finalmente construidos vienen dados por el complejo de cadenas celulares en homotopía propia junto con un nuevo invariante cohomológico, que denominamos invariante de Steenrod. Para ello se definen diversos funtores cuadráticos en las categorías abelianas donde viven los módulos de homología propia. Por medio de algunos dichos funtores se calcula el menor módulo de Whitehead no trivial en función de la homología. Se definen invariantes de James-Hopf en homotopía propia que nos permiten construir nuevos invariantes cohomológicos tipo cup-producto. Se define también, de manera homotópica, el invariante cup-producto de un complejo de cadenas acotado de módulos proyectivos finitamente generados sobre el anillo del espacio de finales de un árbol. Dicho invariante da lugar a la clase cup-producto en la cohomología de categorías homotópicas de complejos de cadenas. Se realiza un detallado estudio de la teoría de representaciones de los anillos del espacio de finales de un árbol. Gracias a ello, o para espacios con a lo sumo tres finales, se construye una sucesión exacta larga de Bockstein en cohomología de categorías. Esta sucesión permite calcular a partir del cup-producto de complejos de cadenas la clase en cohomología de categorías determinada por la obstrucción a la realización geométrica de morfismos entre los complejos de cadenas celulares en homotopía propia. Se define un funtor de suspensión de complejos cruzados a cuadráticos que determina el funtor suspensión en la L-categoría de complejos cuadráticos totalmente libres. Además, se calcula explícitamente la co-H-estructura de un complejo cuadrático suspendido, probándose