Núcleo alternativo generalizado y derivaciones ternarias de algunas estructuras algebraicas no asociativas

Resumen

Introducción Cuando trabajamos con estructuras algebraicas, es interesante conocer las propiedades que verifican para poder clasificarlas, A investigar estas propiedades y a clasificar diferentes familias de álgebras han dedicado su tiempo matemáticos de todas las épocas, utilizando las herramientas disponibles en cada momento. Nuestra investigación se ha centrado en una nueva herramienta, las Derivaciones Ternarias -que extiende la idea de derivación que se venía empleando para clasificar ciertos tipos de álgebras- y un conjunto, el Núcleo Alternativo Generalizado, muy relacionado con ellas. Para saber si esta nueva herramienta es útil, necesitábamos comprobar si las clasificaciones que obtenemos son compatibles con las que se obtenían con las herramientas anteriores, y si de algún modo <<refinan>> estas clasificaciones, y hemos comenzado esta comprobación del modo más natural, con las álgebras conceptualmente <<más sencillas>>: las álgebras de Cayley--Dickson generalizadas y las álgebras de división reales de dimensión finita. 1.-Álgebras de Cayley-Dickson generalizadas. Comenzamos la investigación estudiando las álgebras de cayley-Dickson generalizadas. Cuando aplicamos el proceso de duplicación de Cayley-Dickson partiendo de A_0=F (cuerpo de característica distinta de dos), obtenemos una extensión cuadrática separable de F, A_1; en el segundo paso un álgebra de cuaternios generalizada A_2; después un álgebra de octoniones generalizada A_3; después de este paso aparecen las álgebras A_t de dimensión 2^t, que se llaman álgebras de Cayley-Dickson generalizadas. En nuestro estudio, basándonos en el trabajo de K. McCrimon para derivaciones, calculamos las álgebras de derivación ternarias de las álgebras A_t obtenidas mediante el proceso de duplicación de Cayley--Dickson para cuerpos de característica distinta de 2. Respecto a las álgebras de derivaciones un conocido resultado de Schafer establece que sobre cuerpos de característica distinta de 2 y 3, el álgebra de Lie de derivaciones, Der(A_t)= Der(A_3) cuando t es mayor que 3. Sorprendentemente, aunque A_3 y A_t (t> 3) comparten la misma álgebra de derivaciones es A_3 la que aparece más a menudo en la literatura con mucha diferencia. Al contrario de lo que pasa con Der(A_t), en el paso de t=3 a t=4, el álgebra de Lie de derivaciones ternarias, Tder(A_t), no permanece invariante: ¡decrece! Es a partir de t=4 cuando se estabiliza. Los resultados obtenidos para Tder(A_t) revelan que <<cierta simetría>> de los octoniones se pierde cuando hacemos el proceso de duplicación de Cayley--Dickson más allá de t=3. También introducimos la noción de automorfismo ternario de A y determinamos los automorfismos ternarios de A_t cuando t es mayor o igual que 4 y la característica del cuerpo es distinta de 2 y 3. 2.- Núcleo alternativo generalizado de las álgebras de división reales de dimensión finita. En los casos en que este núcleo posee dimensión mayor o igual que dos, el álgebra de división empieza a acercarse a álgebras obtenidas por el proceso de duplicación de Cayley-Dickson. Como se verá, se obtienen clasificaciones cuando la dimensión de este núcleo es al menos la mitad de la dimensión del álgebra ambiente. En caso de que la dimensión sea menor, es conveniente imponer alguna condición algebraica extra tal como la flexibilidad o incluso la asociatividad de las terceras potencias para obtener resultados concretos. 3.- Álgebras de división El objetivo de la parte final de la memoria es explorar la familia de las álgebras de división reales de dimensión finita utilizando sus derivaciones ternarias, ya que la clase de isomorfía del álgebra de derivaciones ternarias es un invariante por isotopía. Nuestros métodos utilizan la teoría de representación de las álgebras de Lie simples, por lo que solamente podemos considerar las álgebras de división reales cuyas álgebras de Lie de derivaciones ternarias son no abelianas. La familia de álgebras de división reales de dimensión ocho es, aun así, demasiado compleja, por lo que en este caso hemos de conformarnos con estudiar aquellas para las que su álgebra de Lie de derivaciones ternarias tiene una subálgebra simple de rango toral mayor o igual que dos.