Convexidad, lisura y teoría de operadores inducidas por una cantidad conjuntista

Résumé

En esta memoria,la herramienta fundamental es el concepto de cantidad conjuntista que es una generalización del concepto de medida de no compacidad, Se introducen los espacio u-uniformemente convexos (u-UC), u-localmente uniformemente convexos (u-LUC) y los u-estrictamente convexos (u-SC), siendo u una cantidad conjuntista general. Se estudia ncondiciones sobre la cantiad conjuntista para que la clase de los u-LUC contenga a los reflexivos (de forma análoga a la convexidad no compacta y débil no compacta). Se aplica estos resultados a la teoría de puntos expuestos y fuertemente expuestos, generalizándose un resultado debido a Kutzarova. A continuación se pueba que todo espacio B-LUC donde b es la media de débil nocompacidad de De Blasi admite uan norma equivalente que lo hace X-Luc, donde x es la medida de nocompacidad de Haudorff, obteniéndose así la versión no compacta de un reciente resultado dado por Moltó-Orihuela-Troyanski y Valdivia. En una segunda parte, se introduce el concepto de u-variación asociada a un operador y se obtiene una generalización de la propiedad de aproximación, concepto fundamental en Análisis Funcional. Asimismo se introducen los operadores u-tauberianos como generalización de los operadores tauberiano clásicos. Se prueban ente otros resultados que el núcleo de un operador u-tauberiano es u-UC, hecho que generaliza el resultado que se verifica en los operadores tuaberianos clásicos. Finaliza esta segunda parte estudiándose las condiciones mínimas par que pueda verificarse un teorema de Tacon, relacionado con la potencia de operadores. En la tercera y última parte se estudia la cantidad conjuntista inducida por la distancia de Hausdorff a la familia de los conjuntos condicionalmente débilmente compactos.