Familias paramétricas de procesos iterativos de alto orden de convergencia

Resumen

La resolución de ecuaciones no lineales mediante procesos iterativos es el objetivo de esta memoria. Planteamos el análisis de familias paramétricas de procesos iterativos tipo Newton en espacios de Banach, de manera que podemos abarcar un amplio campo de problemas, como por ejemplo, ecuaciones integrales, ecuaciones en derivadas parciales o problemas de valores en la frontera. Obtenemos en espacios de Banach una familia de procesos iterativos con orden de convergencia al menos tres, que incluye los procesos iterativos más conocidos con al menos convergencia cúbica, como el método de Chebyshev, el método de Super-Halley, el método de Halley o el método de Euler, así como otras familias de procesos iterativos. Suavizamos paulatinamente las hipótesis de convergencia habitualmente empleadas, obteniendo dominios de existencia y unicidad de solución, así como cotas a priori y a posteriori del error. Para realizar el estudio de la convergencia semilocal de la familia en espacios de Banach utilizamos dos técnicas distintas: el principio de la mayorante y la basada en la construcción de un sistema de relaciones de recurrencia. En el caso particular de ecuaciones cuadráticas en espacios de Banach, establecemos una familia de procesos iterativos con orden de convergencia prefijado. Es interesante notar que en este caso los parámetros que aparecen en la familia se definen a partir de los números de Catalan. Para esta familia establecemos convergencia semilocal en espacios de Banach; en el caso real convergencia global si el orden es par y convergencia general si el orden es impar; y en el plano complejo presentamos un estudio de la convergencia desde un punto de vista numérico y dinámico. Con el objetivo de generalizar el estudio realizado para ecuaciones cuadráticas, analizamos la convergencia de la familia cuando es aplicada en la resolución de un conjunto de ecuaciones más amplio. Obtenemos así una nueva familia de procesos iterativos con orden de convergencia prefijado para la que establecemos resultados de convergencia semilocal y global.