Polinomios extremales y aproximantes de Fourier-Padé

Résumé

En esta memoria se tratan fundamentalmente dos temas: polinomios extremales y aproximantes de Fourier-Padé, Los polinomios extremales extienden a los polinomios ortogonales, los cuales tienen múltiples aplicaciones a ecuaciones diferenciales, teoría de aproximación, etc. Dentro de los polinomios extremales se estudian por un lado, la asintótica fuerte o de Szegö para polinomios extremales de Sobolev, que se da en términos de la última medida, y por otro lado, la asintótica fuerte para polinomios extremales respecto a una medida variante. Con la ayuda de este resultado damos un resultado de densidad de funciones racionales en el espacio Hp(m), con m medida de Szegö. Para probar asintótica de estos dos tipos de polinomios extremales vamos a necesitar resultados de convexidad pseudo-uniforme, que también se incluyen en esta memoria. En la segunda parte de la tesis se estudian los aproximantes de Fourier-Padé que son aproximantes que extienden las definiciones básicas de los aproximantes de Padé clásicos en series de potencias, al caso de series de polinomios ortogonales. Es decir, recuperan desarrollos de Fourier. En concreto estudiamos resultados cualitativos de los aproximantes de Fourier-Padé a funciones de Stieltjes, y resultados cuantitativos de los aproximantes de Fourier-Padé a sistemas de Angelesco, esto es, aproximación simultánea.