El estudio del infinito a través del espacio exterior

Resumen

En esta memoria se introduce la noción de espacio exterior para el estudio de las propiedades de los espacios en el infinito. Una de las desventajas de la categoría propia es que no posee suficientes límites y colímites para satisfacer el axioma CM1 de categoría de modelos cerrada de Quillen. La categoría que definimos en esta memoria, la de los espacios exteriores, contiene a la categoría propia y satisface todos los axiomas de la categoría de modelos cerrada. De esta forma, se puede estudiar la categoría propia aprovechando las técnicas y resultados de los que disponemos en ese modelo axiomático. En particular, CM1, permitirá realizar diversas construcciones homotópicas a través de los límites y colímites finitos. Uno de los problemas de la categoría propia es que, hasta el momento, no se habían podido construir adecuadas fibras homotópicas y adecuados espacios de lazos. La utilización de los espacios exteriores ha permitido la construcción de fibras homotópicas y espacios de lazos. En esta memoria se ha obtenido una sucesión de fibras homotópicas consecutivas para el estudio de los grupos de tipo Brown - Grossman y otra sucesión para los grupos de tipo Steenrod. La categoría de los espacios exteriores es aquella cuyos objetos son espacios exteriores y cuyos morfismos son las aplicaciones exteriores. Más en detalle, un espacio exterior es un espacio topológico (X, Tx) enriquecido con una estructura adicional, que llamamos externología. La definición de externología viene sugerida por las propiedades de los entornos del infinito (complementos de los conjuntos que sean cerrados y compactos) que constituirán una externología. Una externología es una familia no vacía de abiertos de , que denominaremos abiertos externos, verificando que la intersección finita de abiertos externos es también un abierto externo y tal que si un abierto externo está contenido en un abierto, el abierto es también un abierto externo. Una externología es una topología pero no ocurre que una externología sea una topología. Una aplicación se dice exterior si es continua respecto a la topología y respecto a la externología. Uno de los resultados claves de la memoria es el Teorema 2.1.6, en el que probamos que la categoría de los espacios exteriores tiene una estructura de categoría de modelos cerrada inducida por las equivalencias débiles determinadas por los grupos de tipo Brown-Grossman que en la memoria denominamos grupos de homotopía exterior. Obtenemos también una sucesión exacta larga de un morfismo en la categoría de los espacios exteriores con sucesión base exterior y, como caso particular, la de un par en la categoría de los pares de espacios exteriores con sucesión base exterior. En esta memoria se define la noción de N-complejo. Un N-complejo se construye de forma inductiva. El n-esqueleto se construye a partir del n-1 esqueleto pegando N-celdas de dimensión n, sucesiones exteriores de n-esferas para n mayor o igual que cero, mediante aplicaciones exteriores y de forma que tenga la topología y externología débiles respecto a la filtración de n- esqueletos. Se prueba que todos los N-complejos son objetos cofibrantes exteriores. Demostramos un teorema de Whitehead para N-complejos y, como caso particular, un teorema de Whitehead propio. Por otro lado, se demuestra que es posible dar a la categoría de los espacios exteriores otra estructura de categoría de modelos cerrada, que denominaremos cilíndrica así como a sus nociones asociadas, para distinguirlas de las anteriores que denominamos exteriores. En el Teorema 5.2.5. se demuestra la existencia de otra estructura diferente, que ahora está inducida por los grupos de homotopía tipo Steenrod, que llamamos cilíndricos. Asimismo obtenemos una sucesión exacta larga de un morfismo en la categoría de los espacios exteriores con rayo base exterior y, como caso particular, la de la de un par en la categoría de los pares de espacios exteriores con rayo base exterior. De forma análoga a los N-complejos, se definen los R-complejos, que desempeñan un papel similar a los CW-complejos en homotopía estándar. Probamos un teorema de Whitehead en términos de grupos cilíndricos, entre otros resultados. Para finalizar, se realiza una comparación entre las estructuras de categoría de modelos cerrada inducidas en la categoría de los espacios exteriores con rayo base exterior por las estructuras exterior y cilíndrica. El resultado principal establece una equivalencia de categorías restringida a los objetos cofibrados cilíndricos entre la categoría localizada de la categoría de los espacios exteriores con rayo base exterior, obtenida al invertir por equivalencias débiles, con la estructura de categoría de modelos cilíndrica, y la categoría localizada de la categoría de los espacios exteriores con rayo base exterior obtenida al invertir por equivalencias débiles con la estructura de categoría de modelos exterior.